1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables

Cálculo de los Máximos y Mínimos de una Función de dos VariablesValor Máximo Relativo:

es el punto en que la derivada de una función se anula ycambia su valor de positivo a negativo. Es decir la función pasa de creciente adecreciente.De acuerdo a la gráfica,

 f 

tiene un valormáximo relativo (

 d 

) en el punto

c

, esto es sicierto si

 c

pertenece a

(a,b),

tal que

 f(c)

sea

mayor o igual

a

 f(x) y

si y solo si

 x

 pertenezca a

(a,b).

Valor Mínimo Relativo:

es el punto en que la derivada de una función se anula ycambia su valor de negativo a positivo. Es decir la función pasa de decreciente acreciente.De acuerdo a la gráfica,

 f 

tiene un valormáximo relativo (

 d 

) en el punto

c

, esto es sicierto si

 c

pertenece a

(a,b),

tal que

 f(c)

sea

 menor o igual

a

 f(x) y

si y solo si

 x

 pertenezca a

(a,b).

 Para calcular los valores máximo o mínimos de la función de dos variables:

F(x,y) = 3x

2

 –

2xy + 3y

2

+ 8x

 –

8y + 5

debemos tener en cuenta los siguientes pasos:1. Aplicamos la primera derivada a la función son respecto a X y Y.F

x

= 6x

 –

2y + 8F

y

= -2x + 6y

 –

8

Cálculo de los Máximos y Mínimos de una Función de dos VariablesValor Máximo Relativo:

es el punto en que la derivada de una función se anula ycambia su valor de positivo a negativo. Es decir la función pasa de creciente adecreciente.De acuerdo a la gráfica,

 f 

tiene un valormáximo relativo (

 d 

) en el punto

c

, esto es sicierto si

 c

pertenece a

(a,b),

tal que

 f(c)

sea

mayor o igual

a

 f(x) y

si y solo si

 x

 pertenezca a

(a,b).

Valor Mínimo Relativo:

es el punto en que la derivada de una función se anula ycambia su valor de negativo a positivo. Es decir la función pasa de decreciente acreciente.De acuerdo a la gráfica,

 f 

tiene un valormáximo relativo (

 d 

) en el punto

c

, esto es sicierto si

 c

pertenece a

(a,b),

tal que

 f(c)

sea

 menor o igual

a

 f(x) y

si y solo si

 x

 pertenezca a

(a,b).

 Para calcular los valores máximo o mínimos de la función de dos variables:

F(x,y) = 3x

2

 –

2xy + 3y

2

+ 8x

 –

8y + 5

debemos tener en cuenta los siguientes pasos:1. Aplicamos la primera derivada a la función son respecto a X y Y.F

x

= 6x

 –

2y + 8F

y

= -2x + 6y

 –

8

 2. Igualamos ambas ecuaciones a 0.F

x

= 6x

 –

2y + 8 = 0F

y

= -2x + 6y

 –

8 = 0Si las organizamos separando los términos dependientes de los términos libresnos queda:6x

 –

2y = -8(1) -2x + 6y = 8(2) Podemos ver que es un sistema de ecuaciones lineales 2x2 el cual podemosresolver por cualquiera de los métodos más conocidos (igualación, sustitución,eliminación o determinante).3. Resolvemos la ecuación para hallar los valores de X y Y.En este caso utilizaremos el método de eliminación. Éste método consiste enmultiplicar alguna de las ecuaciones por un valor que nos permita eliminaralguna de las variables (X o Y) y así poder despejar la variable resultante.Eliminaremos Y, para ello multiplicamos la ecuación(1)por 3 y la sumamoscon la(2).3 (6x

 –

2y) = 3(-8)15x

 –

6y = -24(3) Nos queda la ecuación(3)a la que le sumamos la ecuación(2).18x

 –

6y = -24(3) -2x + 6y = 8(2) 16x = -16x = 16/-16 =>

x = -1

 Ahora reemplazamos el valor de X en cualquiera de las primeras ecuaciones,en este caso reemplazaremos en 2.-2x + 6y = 8(1) -2(-1) + 6y = 8-2 + 6y = 86y = 8

 –

2y = 6/6 =>

y = 1

4. Reemplazamos los valores de X y Y en la función original para hallar el puntocrítico en donde la función crece o decrece.

F(x,y) = 3x

2

 –

2xy + 3y

2

+ 8x

 –

8y + 5

F(-1,1) = 3(-1)

2

 –

2(-1)(1) + 3(1)

2

+ 8(-1)

 –

8(1) + 5F(-1,1) = 3 + 2 + 3

 –

8

 –

8 + 5

F(-1,1) = -3

El punto crítico de la función f(x,y) es

(-1,1,-3)

5. Aplicamos la segunda derivada para hallar las cuatro derivadas parciales:Fxx = derivada de x respecto a la derivada de xFyy = derivada de y con respecto a la derivada de yFxy = derivada de x con respecto a la derivada de yFyx = derivada de y con respecto a la derivada de xA partir de la primera derivada obtenida en el paso

1

realizaremos lassegundas derivadas parciales:F

x

= 6x

 –

2y + 8F

y

= -2x + 6y

 –

8F

xx

= 6F

yy

= 6F

xy

= -2F

yx

= -26. Finalmente evaluamos D(x*, y*) con las derivadas parciales para determinar lanaturaleza del punto crítico.Antes de realizar los cálculos definamos los criterios para determinar lanaturaleza del punto crítico.a. Se tiene un máximo o un mínimo relativo si:

D(x*,y*) > 0.

 El punto crítico es un máximo relativo si tanto

F

xx

(x*, y*)

como

F

yy

(x*, y*)

son negativas.El punto crítico es un mínimo relativo si tanto

F

xx

(x*, y*)

como

F

yy

(x*, y*)

son positivas

Bibliografía

Castro, W. (s.f.). Maximos y minimos de una función de dos variables. Recuperado el 29 de 11 de 2015, de scribd: http://es.scribd.com/doc/39191218/Calculo-de-los-Maximos-y-Minimos-de-una-Funcion-de-dos-Variables#scribd