jueves, 12 de noviembre de 2015

4.3.4 Regla del cramer

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurintambién publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).1
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
Si \mathbf{Ax} = \mathbf{b} es un sistema de ecuaciones. \mathbf{A} es la matriz de coeficientes del sistema, \mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n) es el vector columna de las incógnitas y \mathbf{b} es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:
x_j = \cfrac { \det(\mathbf{A}_j) }{ \det(\mathbf{A}) }
donde \mathbf{A}_j es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de \mathbf{A} por el vector columna \mathbf{b}. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz \mathbf{A} ha de ser no nulo.

Ejemplo

Ejemplo de la resolución de un sistema simple de 2x2:
Dado
3x+1y = 9\,
2x+3y = 13\,
que matricialmente es:
\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 \\ 13 \end{bmatrix}
x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer
x = \frac { \begin{vmatrix} 9 & 1 \\ 13 & 3 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} } = { 9*3 - 1*13 \over 3*3 - 1*2} = 2
y = \frac { \begin{vmatrix} 3 & 9 \\ 2 & 13 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} } = { 3*13 - 9*2 \over 3*3 - 1*2} = 3

Sistema de 3x3

La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:
\begin{cases} a{\color{blue}x} + b{\color{blue}y} + c{\color{blue}z} = {\color{black}j}\\ d{\color{blue}x} + e{\color{blue}y} + f{\color{blue}z} = {\color{black}k}\\ g{\color{blue}x} + h{\color{blue}y} + i{\color{blue}z} = {\color{black}l} \end{cases}
Que representadas en forma de matriz es:
\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{blue}x} \\ {\color{blue}y} \\ {\color{blue}z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}
x, y, z pueden ser encontradas como sigue:
x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }; \quad y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} } , \quad z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }

Ejemplo

3x+2y+1z = 1\,
2x+0y+1z = 2\,
-1x+1y+2z = 4\,
expresado en forma matricial:  \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{bmatrix}
Los valores de x, y \text{ y } z serían:
x= \frac { \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} } ; \quad y= \frac { \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 1\\ -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} } ; \quad z= \frac { \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 2\\ -1 & 1 & 4 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} }

https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer
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