Forma 1:
![TEX: <br />\begin{align*}<br /> & \text{sea }f(x)=g(x)^{h(x)}\text{ la funci }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{ n por derivar}\text{, recordando que }e^{\ln a}=a,\text{y que } \\ <br /> & \ln (a^{b})=b\cdot \ln (a),\text{ la funci }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{ n }f(x)\text{ la podemos escribir como:} \\ <br /> & \left[ f(x)=e^{\ln g(x)^{h(x)}}=e^{h(x)\cdot \ln g(x)} \right] \\ <br /> & \text{por lo tanto recordando la regla de la cadena (}fog)'=(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x) \\ <br /> & \text{tenemos que :} \\ <br /> & f'(x)=e^{h(x)\cdot \ln g(x)}\cdot \left( h(x)\cdot \ln (g(x)) \right)' \\ <br /> & \text{usando la derivada de un producto (}f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\text{ }\text{,la regla} \\ <br /> & \text{de la cadena nuevamente y la derivada del logaritmo natural}\text{, tenemos que:} \\ <br /> & f'(x)=e^{h(x)\cdot \ln g(x)}\cdot \left( h'(x)\cdot \ln (g(x))+h(x)\cdot \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \\ <br /> & \text{pero }e^{h(x)\cdot \ln g(x)}=f(x) \\ <br /> & \text{finalmente nuestra derivada es:} \\ <br /> & \left[ f'(x)=f(x)\cdot \left( h'(x)\cdot \ln (g(x))+h(x)\cdot \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \right] \\ <br />\end{align*}<br />](http://www.fmat.cl/tex-image/7b8d8dbb58669730c786ab574d2509e5.png)
Forma 2:
![TEX: <br />\begin{align*}<br /> & f(x)=g(x)^{h(x)}/\ln () \\ <br /> & \ln (f(x))=h(x)\cdot \ln (g(x)) \\ <br /> & \text{derivando a ambos lados y usando resultados anteriores:} \\ <br /> & \frac{f'(x)}{f(x)}=\left( h'(x)\cdot \ln (g(x))+h(x)\cdot \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \\ <br /> & \text{por lo tanto nuestra derivada es:} \\ <br /> & \left[ f'(x)=f(x)\cdot \left( h'(x)\cdot \ln (g(x))+h(x)\cdot \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \right] \\ <br />\end{align*}<br />](http://www.fmat.cl/tex-image/3895f7b40fbcede81f17b2280b218073.png)
Bibliografía
el_troncoso.
(09 de 11 de 2011). Derivada de una función elevada a otra función.
Recuperado el 29 de 11 de 2015, de fmat:
http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=73951
el_troncoso.
(09 de 11 de 2011). Derivada de una función elevada a otra función.
Recuperado el 29 de 11 de 2015, de fmat:
http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=73951
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