jueves, 12 de noviembre de 2015

3.2 Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo $[a,b]$ , definimos F sobre $[a,b]$ por $F(x) = {\int_{a}^x f(t)dt}$ . Si f es continua en $c \in (a,b)$ , entonces F es derivable en $c$ y F'(c) = f(c).

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

$\frac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt} = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.

Demostración[editar]

Lema[editar]

Sea $f$ integrable sobre

[a,b]

m \leq f(x) \leq M \; \forall x \in [a,b]

Entonces

m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)

Demostración del lema[editar]

Está claro que

m(b-a)\leq L(f,P) \ \hbox{y}\ U(f,P) \leq M(b-a)

para toda partición

P

. Puesto que

\int_{a}^{b}f = \sup {L(f,P)}=\inf{U(f,P)}

, la desigualdad se sigue inmediatamente.

Demostración[editar]

Por definición se tiene que

F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }

Sea h>0. Entonces

F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}

Se define

m_h

M_h

como:

m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}

M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}

Aplicando el 'lema' se observa que

m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h

Por lo tanto,

m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h

Sea

h < 0

. Sean

{m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}

{M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}

Aplicando el 'lema' se observa que

{m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h)

Como

F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt}

entonces,

{M^*}_h \cdot h \leq F(c+h)-F(c) \leq {m^*}_h \cdot h

Puesto que

h < 0

, se tiene que

{m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h

Y como $f$ es continua en c se tiene que

\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c)

y esto lleva a que

F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c)

Ejemplos[editar]

F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \quad\Rightarrow\quad F'(x) = x^2

G(x) = \int_{0}^{e^{3x}} \sin(t) dt \quad\rightarrow\quad G'(x) = \sin(e^{3x}) e^{3x} \cdot3

H(x) = \int_{0}^{x^2} \arcsin(t) dt\quad \rightarrow\quad H'(x) = \arcsin(x^2) \cdot 2x

I(x) = \int_{0}^{x^2} \arcsin(t) dt\quad \rightarrow\quad I'(x) = \arcsin(x^2) \cdot 2x

J(x) = \int_{0}^{\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt} \frac{1}{(1+\sin^2t)} dt\quad \rightarrow\quad J'(x)= \frac{1}{(1+\sin^2(\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt))} \,\cdot\, \frac{1}{(1+\sin^2x)}

Bibliografía

wikipedia. (s.f.). Teorema fundamental del cálculo. Recuperado el 29 de 11 de 2015, de wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo

MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION

jueves, 12 de noviembre de 2015

3.2 Teorema fundamental del cálculo

Primer teorema fundamental del cálculo

Demostración[editar]

Lema[editar]

Demostración del lema[editar]

Demostración[editar]

Ejemplos[editar]

Bibliografía

No hay comentarios:

Publicar un comentario