3.4 Área entre una y dos curvas

El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .

    Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo. 

f(x)= 3x3 - x2 - 10x	g(x)= - x2 + 2x

    Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud(b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.

Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)). El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b]. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*).

   En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia). 

Definición de área entre dos gráficas: El área entre las gráficas de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo [a,b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a,b].

    Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas.

Dentro del intervalo (-2,2), las curvas: y=2(1-x2) y y=x2-1  se intersectan en x = -1, 1.  f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1  El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4}Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es:  4 + 4 + 4 = 12

Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas:  y = -x2/3+1 y y = x2/3  se intersectan en x = 1.  f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867}  Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es:1.6 + 0.15867 = 1.75867

Otros métodos: Rectángulos horizontales.

    El procedimiento anterior depende de que, en cada intervalo de integración, la curva "de arriba" es la misma y la curva "de abajo" también. A continuación se muestra una situación en donde esto no se cumple. Observa las siguientes gráficas. 

    Observa que en el intervalo [-1,3] no se cumple que la curva "de arriba" sea la misma. En [-1,2] la curva de arriba es y=x-1 , mientras que en [2,3] la curva de arriba es y=(3-x)^1/2.

    En la gráfica anterior dibujamos un rectángulo horizontal de base X₂ - X₁ y de altura y.

    X₂ es elvalor de x dado por la curva de la derecha (x=3-y²) y X₁ es el valor de x dado por la curva de la izquierda (x=y+1). En esta situación la curva de la derecha siempre es la misma y la curva de la izquierda también es la misma para todos los rectángulos horizontales desde y=-2 hasta y=1.

		y=1
Entonces el área entre las curvas es igual a			[3 - y2 - (y+1)] dy
		y=-2

    Si integramos con respecto a "y" la diferencia (3-y²) - (y+1) entre y=-2 hasta y=1, entonces encontramos que:

	9
Area entre las curvas =
	2

Bibliografía

elmaravillosomundodelaciencia. (s.f.). El área entre dos curvas. Recuperado el 29 de 11 de 2015, de elmaravillosomundodelaciencia: http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/area_entre_dosC.htm