4.3.2 Expansión por cofactores

En esta sección se calcularán determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de menor de un determinante y el de cofactor de un elemento.

Se llama menor del elemento  aik de un determinante  D de   al determinante  Mik de orden   que se obtiene al eliminar el renglón  i   y la columna  k de  D.

   

Ejemplo 1.

Obtener los menores  M₁₃   y   M₂₁  del determinante  D  de  .

                       

Para  M₁₃  eliminamos el renglón  1  y la columna  3  para obtener

                         

De la misma forma, se elimina el renglón  2   y la columna  1  para tener

                        

Se  llama cofactor del elemento  aik  del determinante   D,  al menor   Mik  con el  signo     (-1)i+k   y se denota   Aik,  esto es                                                                                       (1)

                              

Ejemplo 2.

Obtenga los cofactores   A₁₃  y  A₂₁   del determinante  D  dado:

      

                       

De acuerdo con la fórmula  (1) el cofactor   A₁₃ está dado por

                       

Y de la misma forma

                  

Expansión por cofactores de un determinante.

 Se puede probar el siguiente

Teorema Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes. Esto es                                    (2) es el desarrollo del determinante  D  por  el  renglón  i,  y  similarmente                                                                     (3) es el desarrollo del determinante  D  por la columna  k.

Las expresiones  (2)  y  (3)   son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas.

Ejemplo 3.

Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante  D.

              

Para expandir  D,  por cofactores del segundo renglón,  calculamos primero los cofactores  A₂₁, A₂₂ y A₂₃ de los elementos del segundo renglón.

              

Entonces 

                

Ejemplo 4.

Desarrollar por cofactores de la primera columna y calcular el valor del determinante  D del ejemplo 3 para verificar que obtenemos el mismo valor.

Para expandir por cofactores de la primera columna, primero evaluamos los cofactores  A₁₁, A₂₁, A₃₁ de los elementos de la primera columna:

Entonces

                 

Ejemplo 5.

Considere la matriz  A  y calcule su determinante  det A

                                        

Para evaluar el determinante de A usamos la fórmula  (2)  que permite desarrollar un determinante por cofactores de una columna.  Observe que la primera columna de A consta de tres ceros y un 2. Desarrollando por la columna  (1) se tiene

                  

Aún falta evaluar el determinante de 3x3,  que desarrollamos por cofactores de la columna 3 porque dos de sus elementos son ceros, entonces

                

                    

Ejemplo 6.   

El determinante de una matriz triangular.

Considere la matriz   B  triangular, calcule  det B

                                               

Entonces, desarrollando por cofactores de la primera columna, y desarrollando los menores correspondientes de la misma forma, se tiene

                 

Así que, el determinante de una matriz triangular es el producto de sus elementos en la diagonal principal.

Bibliografía:

MENORES Y COFACTORES. (s.f.). Recuperado el 28 de 11 de 2015, de Universidad Autonoma de Baja California Facultad de Ciencias Marinas: http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/III%20Dets/menores%20y%20cofactores.htm