viernes, 13 de noviembre de 2015

ÍNDICE

Índice

Unidad 1. Introducción al cálculo en dos variables.

1.1 Funciones en dos variables.

1.2 Derivadas parciales.

1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables.

Unidad 2. Integración.

2.1 Antiderivada.

2.2 Integral indefinida.

2.2.1 Integración con condiciones iniciales.

2.3 Fórmulas básicas de integración.

2.3.1 Integral indefinida de una constante.

2.3.2 Integral de una constante por variables.

2.3.3 Integral de x.

2.3.4 Integral de e.

2.3.5 Integral de una constante por una función de x.

2.3.6 Integral de una suma (diferencia) de funciones.

2.3.7 Regla de la potencia.

2.3.7.1 Integrales que incluyen u.

2.3.7.2 Integrales que incluyen funciones exponenciales.

2.3.8 Integrales que incluyen funciones logarítmicas.

2.3.9 Integrales que incluyen (1/u) du.

2.3.10 Integrales que incluyen a.

2.3.11 Integrales por partes.

2.4 Aplicaciones: Determinación de funciones de costo utilidades, consumo y ahorro a partir de sus marginales.

Unidad 3. Integral definida.

3.1 Área bajo la curva

3.2 Teorema fundamental del cálculo.

3.3 Propiedades de la integral definida.

3.4 Área entre una y dos curvas.

3.5 Aplicaciones: Excedente del consumidor y del productor, valor presente y valor futuro.

Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.

4.1 Sistemas de ecuaciones lineales.

4.1.1 Definición.

4.1.2 Sistemas de ecuaciones lineales.

4.1.3 Métodos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

4.1.4 Sistemas de ecuaciones equivalentes.

4.1.5 Eliminación de Gauss y Gauss-Jordan.

4.1.5.1 Definición de matriz.

4.1.5.2 Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

4.1.5.3 Operaciones elementales sobre renglones.

4.1.5.4 Reducción de Gauss y Gauss-Jordan.

4.1.5.5 Sistemas homogéneos.

4.2 Algebra de matrices.

4.2.1 Tipos de matrices.

4.2.2 Operaciones con matrices.

4.2.3 Propiedades de las operaciones con matrices.

4.2.4 Matriz inversa.

4.3 Determinantes.

4.3.1 Definición de un determinante.

4.3.2 Expansión por cofactores.

4.3.3 Propiedades de los determinantes.

4.3.4 Regla de Cramer.

4.4 Aplicaciones: Modelo insumo-producto, análisis de ventas y comportamiento del consumidor.

MODULO 1. Introducción al cálculo en dos variables.

Actividades de Aprendizaje en Clase:

Entender el concepto de función en dos variables y su manipulación algebraica

Entenderá la derivadas parciales

Aplicará los máximos y mínimos de funciones de dos variable en gastos, ingresos y utilidad

1/3

2/3

3/3

1.1 funciones en dos variables

Función de dos variables

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

En consecuencia, la grafica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es un conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de f corresponde a solo un valor de z, ninguna recta perpendicular al plano x,y puede intersectar a la grafica de f en mas de un punto.

Ejemplo ilustrativo 1

La función f del ejemplo 1 es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tales que

z=v25- x2 -y2

Por tanto, la grafica de f es la semiesfera en el plano x y por arriba de este cuyo centro es el origen y tiene radio 5. Esta semiesfera se muestra en la figura 1.

Ejemplo 2: dibuje la grafica de la función

Sol/: la grafica de f es la superficie que tiene la ecuación z=x2 +y2 . La traza de la superficie en el plano x,y se obtiene al utilizar la ecuación z=0 simultáneamente con la ecuación de la superficie. Al hacerlo resulta x2 +y2=0 la cual representa el origen. Las trazas en los planos xz y yz se obtiene al emplear las ecuaciones z=x2 +y2. Estos trazos son las parábolas z= x2 y z= y2.

Funciones de varias variables

El deseo de abordar problemas del mundo real, nos conduce a tomar en cuenta que, en general, cualquier situación o fenómeno requiere de más de una variable para su precisa descripción. Por ejemplo, el volumen de un cilindro depende del radio de la base y de su altura; la posición de un móvil en un momento determinado requiere para su exacta especiación, además del tiempo, de las tres coordenadas espaciales. Si adicionalmente se requiere la velocidad a la cual se desplaza, tendremos una función vectorial f que a cada vector de cuatro componentes (ubicación espacial y tiempo) le asigna la velocidad

V del móvil en ese punto y en ese instante:

f(x; y; z; t) = v

Observamos entonces que de acuerdo con la situación especifica que queramos describir, requerimos el tipo de función adecuada. Según si el dominio D y el rango R son subconjuntos de R; R2 o R3 las funciones se clasifican de la siguiente forma:

Función Nombre

En cada caso, donde aparece R3 lo podemos sustituir por R2 y el nombre se conserva.

Las denominaciones escalar o vectorial se refieren a si la imagen de la función es un

numero o es un vector.

Ejemplo: la función g esta definida por

g (x, y, z) = x2+y2-z

entonces el paraboloide circular z= x2+y2, mostrado en la figura, es la superficie de nivel de g en 0. La superficie de nivel de g en el numero k tiene la ecuación z + k = x2 + y2 , un paraboloide circular cuyo vértice es el punto (0,0 –k) sobre el eje z. en al figura muestra las superficies de nivel para k igual a -4,-2, 0, 2 y 4

Bibliografía

molinares, m. f. (s.f.). Funciones de dos y más variables, dominio y rango, y curva de nivel. Recuperado el 29 de 11 de 2015, de monografias: http://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-rango-curva-nivel/funciones-dominio-rango-curva-nivel.shtml#ixzz3rPqqXGNB

1.2 Derivadas parciales

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

\frac{ \partial f }{ \partial x } = \partial_xf = f'_{x}

Donde

\scriptstyle \partial

es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud

A

es función de diversas variables (

x

y

z

...

), es decir:

A = f\left(x,y,z,...\right)

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función

A

en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Introducción

Supongamos que

\scriptstyle f

es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso,

f(x, y) = x^2 + xy + y^2\,

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.

Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:

\frac{\part z}{\part x} = 3

en el punto (1, 1, 3),

o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."

Ejemplos

Considera el volumen V de un cono, este depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula

V(r,h) = \frac{ r^2 h \pi }{3}

Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:

\frac{ \partial V}{\partial r}(r, h) = \frac{ 2r h \pi }{3}, \qquad \frac{ \partial V}{\partial h}(r, h) = \frac{ r^2 \pi }{3}

Otro ejemplo, dada la función

F : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}

tal que:

F(x,y) = 3x^3 y + 2x^2 y^2 -7y\,

la derivada parcial de

F

respecto de

x

es:

\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = 9x^2y + 4xy^2

mientras que con respecto de

y

es:

\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = 3 x^3 + 2 x^2 2y - 7 = 3 x^3 + 4 x^2 y - 7

Bibliografía

Weisstein, E. W. (s.f.). Derivada parcial. Recuperado el 29 de 11 de 2015, de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial

1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables

Cálculo de los Máximos y Mínimos de una Función de dos VariablesValor Máximo Relativo:

es el punto en que la derivada de una función se anula ycambia su valor de positivo a negativo. Es decir la función pasa de creciente adecreciente.De acuerdo a la gráfica,

tiene un valormáximo relativo (

) en el punto

, esto es sicierto si

pertenece a

(a,b),

tal que

f(c)

sea

mayor o igual

f(x) y

si y solo si

pertenezca a

(a,b).

Valor Mínimo Relativo:

es el punto en que la derivada de una función se anula ycambia su valor de negativo a positivo. Es decir la función pasa de decreciente acreciente.De acuerdo a la gráfica,

tiene un valormáximo relativo (

) en el punto

, esto es sicierto si

pertenece a

(a,b),

tal que

f(c)

sea

menor o igual

f(x) y

si y solo si

pertenezca a

(a,b).

Para calcular los valores máximo o mínimos de la función de dos variables:

F(x,y) = 3x

–

2xy + 3y

+ 8x

–

8y + 5

debemos tener en cuenta los siguientes pasos:1. Aplicamos la primera derivada a la función son respecto a X y Y.F

= 6x

–

2y + 8F

= -2x + 6y

–

Cálculo de los Máximos y Mínimos de una Función de dos VariablesValor Máximo Relativo:

es el punto en que la derivada de una función se anula ycambia su valor de positivo a negativo. Es decir la función pasa de creciente adecreciente.De acuerdo a la gráfica,

tiene un valormáximo relativo (

) en el punto

, esto es sicierto si

pertenece a

(a,b),

tal que

f(c)

sea

mayor o igual

f(x) y

si y solo si

pertenezca a

(a,b).

Valor Mínimo Relativo:

es el punto en que la derivada de una función se anula ycambia su valor de negativo a positivo. Es decir la función pasa de decreciente acreciente.De acuerdo a la gráfica,

tiene un valormáximo relativo (

) en el punto

, esto es sicierto si

pertenece a

(a,b),

tal que

f(c)

sea

menor o igual

f(x) y

si y solo si

pertenezca a

(a,b).

Para calcular los valores máximo o mínimos de la función de dos variables:

F(x,y) = 3x

–

2xy + 3y

+ 8x

–

8y + 5

debemos tener en cuenta los siguientes pasos:1. Aplicamos la primera derivada a la función son respecto a X y Y.F

= 6x

–

2y + 8F

= -2x + 6y

–

https://html2-f.scribdassets.com/8gochrwuf4ow1vm/images/1-c1362b027e.png

2. Igualamos ambas ecuaciones a 0.F

= 6x

–

2y + 8 = 0F

= -2x + 6y

–

8 = 0Si las organizamos separando los términos dependientes de los términos libresnos queda:6x

–

2y = -8(1) -2x + 6y = 8(2) Podemos ver que es un sistema de ecuaciones lineales 2x2 el cual podemosresolver por cualquiera de los métodos más conocidos (igualación, sustitución,eliminación o determinante).3. Resolvemos la ecuación para hallar los valores de X y Y.En este caso utilizaremos el método de eliminación. Éste método consiste enmultiplicar alguna de las ecuaciones por un valor que nos permita eliminaralguna de las variables (X o Y) y así poder despejar la variable resultante.Eliminaremos Y, para ello multiplicamos la ecuación(1)por 3 y la sumamoscon la(2).3 (6x

–

2y) = 3(-8)15x

–

6y = -24(3) Nos queda la ecuación(3)a la que le sumamos la ecuación(2).18x

–

6y = -24(3) -2x + 6y = 8(2) 16x = -16x = 16/-16 =>

x = -1

Ahora reemplazamos el valor de X en cualquiera de las primeras ecuaciones,en este caso reemplazaremos en 2.-2x + 6y = 8(1) -2(-1) + 6y = 8-2 + 6y = 86y = 8

–

2y = 6/6 =>

y = 1

4. Reemplazamos los valores de X y Y en la función original para hallar el puntocrítico en donde la función crece o decrece.

F(x,y) = 3x

–

2xy + 3y

+ 8x

–

8y + 5

F(-1,1) = 3(-1)

–

2(-1)(1) + 3(1)

+ 8(-1)

–

8(1) + 5F(-1,1) = 3 + 2 + 3

–

8 + 5

F(-1,1) = -3

El punto crítico de la función f(x,y) es

(-1,1,-3)

5. Aplicamos la segunda derivada para hallar las cuatro derivadas parciales:Fxx = derivada de x respecto a la derivada de xFyy = derivada de y con respecto a la derivada de yFxy = derivada de x con respecto a la derivada de yFyx = derivada de y con respecto a la derivada de xA partir de la primera derivada obtenida en el paso

realizaremos lassegundas derivadas parciales:F

= 6x

–

2y + 8F

= -2x + 6y

–

= 6F

= -2F

= -26. Finalmente evaluamos D(x*, y*) con las derivadas parciales para determinar lanaturaleza del punto crítico.Antes de realizar los cálculos definamos los criterios para determinar lanaturaleza del punto crítico.a. Se tiene un máximo o un mínimo relativo si:

D(x*,y*) > 0.

El punto crítico es un máximo relativo si tanto

(x*, y*)

como

(x*, y*)

son negativas.El punto crítico es un mínimo relativo si tanto

(x*, y*)

como

(x*, y*)

son positivas

Bibliografía

Castro, W. (s.f.). Maximos y minimos de una función de dos variables. Recuperado el 29 de 11 de 2015, de scribd: http://es.scribd.com/doc/39191218/Calculo-de-los-Maximos-y-Minimos-de-una-Funcion-de-dos-Variables#scribd